Preglednik ne dopušta trajno spremanje. Stranica radi, ali prije zatvaranja preuzmi kopiju s napretkom (izbornik ⋯).
Pitanja 287–460
Vježbaj bez gledanja
Pročitaj pitanje i odgovori svojim riječima. Zatim otvori rješenje i ocijeni koliko znaš.
Izbor: sva pitanja. Mijenjaš ga filtrima na kartici Pitanja.
Ocjena ne skriva pitanje: sva su uvijek u popisu. Ocjena samo određuje kad se pitanje opet pojavi među onima na redu danas.
razmak otvara odgovor, 123 ocjenjuju, ←→ listaju.
Kalkulatori
Promijeni brojeve i gledaj kako se mijenja rezultat.
Glavni kalkulator
Od niza do svih mjera
Odvoji vrijednosti točkom sa zarezom ili novim redom. Dopušten je decimalni zarez ili točka; tisuću piši 1000. Računa se najviše 200 opažanja.
Prikaži frekvencije i histogram
G i H ovdje su namijenjeni pozitivnim vrijednostima. Za nenegativan niz s nulom proširenje G daje 0; H s nulom nije definiran. Smislenost prosjeka ovisi i o mjernoj ljestvici, ne samo o tome može li se pritisnuti gumb.
Aritmetička, geometrijska, harmonijska
Ista dva pozitivna broja, tri načina sažimanja. Prvo odluči zbrajaju li se iznosi, množe faktori ili se prosječe stope.
Aritmetička A
Geometrijska G
Harmonijska H
Za pozitivne brojeve vrijedi H ≤ G ≤ A. Sve tri postaju jednake kad su a i b jednaki. Formula treba odgovarati smislu zadatka.
Zašto je sporija dionica važnija?
Prosječna brzina uvijek je ukupna udaljenost / ukupno vrijeme. Jednake udaljenosti vode na H, jednaka vremena na A.
Dva razdoblja rasta
Početna vrijednost je 100. Postotci se pretvaraju u faktore 1 + r, a ti se faktori množe.
Nakon dva razdoblja
Složeni prosjek po razdoblju
Običan prosjek stopa
+20 % pa −20 % ne vraća nas na početak jer se drugi postotak primjenjuje na novu osnovicu. Geometrijski prosječni faktor u oba razdoblja daje isti završni iznos.
Jedna velika plaća
Plaće 900, 1.000, 1.100 i 1.200 € ostaju iste. Mijenjaj petu i usporedi prosjek s medijanom.
Prosjek
Medijan1.100 €
Raspon
Gdje su kvartil, decil i centil?
Kvantili označavaju položaj u uređenom nizu. Pomakni p i prati koji su članovi važni te interpolira li postupak između njih.
U zadatku 214 korišteni su medijani polovica bez središnjeg člana: Q₁ = 25 i Q₃ = 75. Excel INC za isti niz daje 30 i 70. To su različite izričito navedene konvencije. „Najbliži rang” ovdje također nije pravilo medijana polovica; za paran N njegov 50. centil može odstupati od uobičajenog medijana.
Ponavljanja i mali nizovi znače da strogi udjeli „ispod” i „iznad” ne moraju biti točno p i 1 − p.
Već znaš Q₁ i Q₃? Izračunaj IQR.
IQR = Q₃ − Q₁ opisuje širinu središnjeg dijela raspodjele. Q₁ ne smije biti veći od Q₃.
Varijanca kvadrira, σ vraća jedinicu
Niz je μ − 2k, μ − k, μ, μ + k, μ + 2k. Ovo je cijela populacija od pet opažanja.
Sredina μ
Varijanca σ²
SD σ
Promjena μ samo pomiče niz. Promjena k rasteže udaljenosti: dvostruki k daje četverostruku varijancu i dvostruku σ. U jedinicama cm varijanca je u cm², a σ u cm.
Disperzija u odnosu na prosjek
Ilustrativni sažeci dviju skupina plaća na omjernoj skali. CV pretvara SD u postotak sredine.
CV skupine A
CV skupine B
CV traži smislenu nulu i pozitivan prosjek; nije prikladan za °C. Nizak CV ne jamči reprezentativan uzorak.
Gaussova krivulja, z i površina
Točka x = μ + zσ
P(X ≤ x)
P(μ − |z|σ ≤ X ≤ μ + |z|σ)
Zeleno područje je središnji interval ±|z|σ. Ljubičasta crta označava odabrani x; njegov centil očitava se iz površine lijevo od njega. Za z = 1, 2 i 3 središnji udjeli su približno 68,3 %, 95,4 % i 99,7 %.
Ovaj pokus pretpostavlja teorijsku normalnu distribuciju. Visina krivulje je gustoća; nije vjerojatnost točno jedne vrijednosti. Pojedinačna točka kontinuirane raspodjele ima vjerojatnost 0. Površine su numeričke aproksimacije. NIST · normalna distribucija
Točka ima dvije adrese
Prvo čitaš vodoravnu, zatim okomitu koordinatu: (x, y). Ishodište je (0, 0).
Tri tvrdnje, isti smjer bodovanja
Ilustracija kodiranja odgovora od 1 „uopće se ne slažem” do 5 „potpuno se slažem”. Sve tvrdnje trebaju se odnositi na istu odabranu instituciju.
Druga je tvrdnja negativno usmjerena. Da bi viši broj uvijek označavao više povjerenja, kodiranje je 6 − odgovor: 1↔5, 2↔4, 3↔3.
Jedna stavka je ordinalna. Zbroj/prosjek više stavki smislen je uz provjeru konstrukta, dimenzionalnosti i pouzdanosti te dodatne pretpostavke o razmacima. Ovo nije validiran instrument.
Koja je ovo varijabla?
0 / 0
Korelacija, hipoteze i regresija
Smjer, jakost i oblik
Pearson r
R² pravca
Broj parova
Ljubičasto: OLS pravac sa slobodnim članom. R² = r² vrijedi za taj jednostavni linearni model. Nulta korelacija ne isključuje zakrivljen odnos.
Što p može reći?
Unesi već izračunatu p-vrijednost i odaberi unaprijed zadani prag α. Ovaj pokus ne računa p iz podataka.
Odluka u ovom pokusu
p je vjerojatnost rezultata barem toliko ekstremnog uz H₀ i ostale pretpostavke testa. Nije vjerojatnost da je H₀ istinita. Prikaži i veličinu učinka, interval pouzdanosti i dizajn istraživanja.
Ovdje koristimo p ≤ α za odbacivanje H₀. Kod granice prijavi točan p i navedi konvenciju; kod zaokruženog p = 0,05 provjeri dodatne znamenke.
Pročitaj regresijski izvještaj
0 / 0
Pretpostavlja se uobičajena OLS regresija sa slobodnim članom i valjani uvjeti za testove. Primjeri povezuju pitanja 370–391.
Za konačan niz kao cijelu populaciju μ je aritmetička sredina tog niza. Za medijan najprije poredaj podatke. Za mod prebroji frekvencije. Za geometrijsku sredinu stopa koristi faktore rasta (npr. 1,10), a zatim rezultat pretvori natrag u stopu.
Q₂ = medijan = D₅ = C₅₀; Q₁ = C₂₅; Q₃ = C₇₅; D₁ = C₁₀. S ponovljenim vrijednostima skupine ne moraju sadržavati točno jednake brojeve opažanja.
Korelacija i regresija
Pearson r = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / √{Σ(xᵢ − x̄)² · Σ(yᵢ − ȳ)²}
Jednostavna regresija: Yᵢ = β₀ + β₁Xᵢ + εᵢ; predviđanje Ŷᵢ = b₀ + b₁Xᵢ
Nagib pravca: b₁ = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / Σ(xᵢ − x̄)²
Ostatak (rezidual): eᵢ = yᵢ − ŷᵢ
R² = 1 − SSE/SST; SSE = Σeᵢ², SST = Σ(yᵢ − ȳ)²
Jednostavni OLS sa slobodnim članom: R² = r²; Excel Multiple R = √R² = |r|
Standard Error regresije = √[SSE / (n − k − 1)] [k prediktora, slobodni član]
Ukupni F-test: H₀: β₁ = … = βₖ = 0; Significance F je pripadni p
Odluka uz zadani α: p ≤ α → odbacujemo H₀; p > α → ne odbacujemo H₀
Dodavanje konstante c: sredina + c, varijanca i SD ostaju iste
Množenje sa a: sredina × a, varijanca × a², SD × |a|
SST mora biti pozitivan, a stupnjevi slobode pozitivni. Pearson r traži nenultu varijabilnost obiju varijabli. R² = r² nije opće pravilo za svaku regresiju; gornji izraz odnosi se na jednostavni OLS model sa slobodnim članom. Predviđanje i značajnost ne dokazuju uzročnost.
=CORREL(A1:A20;B1:B20) ili =PEARSON(A1:A20;B1:B20)
Engleski nazivi funkcija; lokalizacija može imati druge nazive ili zarez umjesto točke sa zarezom između argumenata. Ako formula za CV već množi sa 100, rezultat prikaži kao broj, ne ponovno formatom Postotak. Prazne, tekstualne i pogrešne ćelije provjeri prije analize.
Str. 107: kvantitativne varijable mogu biti diskretne ili kontinuirane. Brojčana oznaka sama po sebi ne čini varijablu kvantitativnom. Str. 104 i 113 daju ispravnu osnovnu podjelu. OpenStax · vrste podataka
Str. 138–139: aritmetička sredina, medijan i mod koriste se i za nenormalne podatke; njihova korisnost ovisi o obliku podataka i pitanju. Ekstremi snažno utječu na prosjek, a mnogo manje na medijan. NIST · središnje vrijednosti
Str. 149–150: drugi opis treba se odnositi na Q₃. Centili označavaju položaj; vezane vrijednosti traže oprez pri tvrdnjama „točno toliko posto strogo manje”.
Str. 158: jednakost prosjeka, medijana i moda ne dokazuje normalnost; konačni niz 1, 2, 2, 2, 3 nije kontinuirana normalna distribucija.
Str. 165–166: varijanca ima kvadrirane jedinice (npr. €²), standardna devijacija izvorne jedinice (€). σ je korijen sredine kvadriranih odstupanja. NIST · disperzija
Str. 168–169: V traži smislen prosjek i omjernu skalu. Tablica pragova homogenosti pripada ovom kolegiju; nije univerzalni zakon. NIST · koeficijent varijacije
Str. 171: Pearsonov r opisuje linearnu povezanost. Mali |r| ne dokazuje da odnosa nema. Pragovi jakosti u tablici su konvencija kolegija; znak određuje smjer, apsolutna vrijednost jakost. NIST · dijagram raspršenja
Str. 186: neodbacivanje H₀ ne potvrđuje da je ona istinita. p ne mjeri vjerojatnost istinitosti hipoteze, veličinu učinka ili njegovu važnost. ASA · tumačenje p-vrijednosti
Str. 189: Excelov Multiple R u uobičajenom modelu sa slobodnim članom je nenegativan √R². Standard Error na vrhu izvještaja odnosi se na reziduale; standardne pogreške pojedinih koeficijenata nalaze se u drugoj tablici. Significance F testira zajedničku nul-hipotezu o nagibima. Microsoft · LINEST i pokazatelji regresije
Str. 146: tvrdnja da Excel ne prepoznaje više modova ne vrijedi općenito. MODE.SNGL vraća jedan mod, a MODE.MULT sve modove. Microsoft · MODE.MULT
Str. 165–166: varijanca je u kvadriranim jedinicama, a standardna devijacija u izvornim jedinicama. U populacijskim zadacima dijelimo s N; pri uzoračkoj procjeni varijance s n − 1.
Str. 198: varijabilitet unutar skupina može biti veći od onoga između njih; to je važno upozorenje protiv generaliziranja, a ne univerzalan matematički zakon za sve podatke.
Excel
Uredi ćelije, upiši formulu i provjeri rezultat.
Tvoj radni list
Žute ćelije možeš mijenjati. Apostrof označava tekstualni broj, npr. '10. Prazno nije isto što i 0.
Podaci se spremaju za ovaj primjer u pregledniku. Formulu upiši u polje desno/ispod.
Formula i rezultat
Ćelije i tvoj pokušaj formule automatski se spremaju u ovom pregledniku.
Engleski nazivi funkcija. Vježbalište obrađuje funkcije iz prikazanih primjera i raspone jednog stupca. U izvornom Excelu dostupne su i ostale funkcije.